Bài 2705

Question

Tại điểm O trên mặt đất có một quả cầu nhỏ khối lượng $M$ bị nổ tung thành các mảnh vụn bay theo mọi hướng với cùng một vận tốc ban đầu $v$. Coi là chúng được phân bố đều mọi hướng đi từ O bên trên mặt đất. tìm tổng khối lượng các mảnh rơi trên mặt đất ở ngoài vòng tròn tâm O bán kính $R$

lee.yeez · Answer 1 · 8/24/2012 4:32:33 PM

Khi một mảnh bay lên với vận tốc $v$ làm với mặt đất một góc $\alpha$ thì tầm bay xa của nó là: $R=\frac{v^2\sin 2\alpha}{g}$
Ta tính xem để đạt tới tầm bay xa $R$,cần bắn với góc $\alpha$ bằng bao nhiêu
              $R=\frac{2v^2\sin \alpha \sqrt{1-\sin^2 \alpha} }{g} $
Bình phương hai vế, dẫn đến phương trình: $\sin^4 \alpha-\sin^2 \alpha+\frac{g^2R^2}{4v^4}=0$
Hay nếu đặt $\sin^2 \alpha=x ( 0 \leq x \leq 1)$ thì ta có: $x^2-x+\frac{g^2R^2}{4v^4}=0        (1)$
             $\Delta=1-\frac{g^2R^2}{v^4}$
Nếu $\Delta>0$ hay $R< \frac{v^2}{g}$: có $2$ nghiệm đều dương, $x_1=\frac{1-\sqrt{\Delta} }{2}$ và $x_2=\frac{1+\sqrt{\Delta} }{2}$ ứng với hai góc $\alpha_1, \alpha_2$
       $x_1+x_2=1$ nên $x_1,x_2$ đều nhỏ hơn hoặc bằng $1$
       $\sin \alpha_1=\sqrt{\frac{1-\sqrt{\Delta} }{2} }; \sin \alpha_2=\sqrt{\frac{1+\sqrt{\Delta} }{2} }               (2)$
Vì $\cos^2 \alpha_2=1-\sin^2 \alpha_2=1-\frac{1+\sqrt{\Delta} }{2}=\frac{1-\sqrt{\Delta} }{2} =\sin^2 \alpha_2; \cos \alpha_2=\sin \alpha_1$ nên $2$ góc $\alpha_1, \alpha_2$ là hai góc phụ nhau
Nếu $\Delta=0$ hay $R=\frac{v^2}{g}$ thì $(1)$ có nghiệm kép $x=\frac{1}{2}$ và $\sin \alpha=\frac{1}{\sqrt{2} }$ cũng là nghiệm kép.
Nếu $R>\frac{v^2}{g}$ thì phương trình vô nghiệm. Vậy nếu $R<\frac{v^2}{g}$ thì những mảnh có tầm bay xa lớn hơn $R$ là nhứng mảnh được bắn với góc $\alpha$ thỏa mãn ( hình bên)    $\alpha_1< \alpha<\alpha_2$
Ta tưởng tượng trên mặt đất có úp một bán cầu tâm O và bán cầu chứa các điểm ngọn của vecto vận tốc ban đầu của các mảnh vỡ. Theo đầu bài các điểm ngọn này phân bố đều tên mặt bán cầu ấy, ngọn của vecto vận tốc của những mảnh rơi ra ngoài vòng tròn tâm O bán kinh $R$ sẽ nằm trên một đới cầu của hình cầu bán kính $R=v$, chiều cao $h=R(\sin \alpha_2-\sin \alpha_1)$.
Hình học cho biết diện tích của đới cầu là ( hình bên)
    $S=2\pi Rh$

Các mảnh phân bố đều nên tỉ số giữa khối lượng $m$ các mảnh đi qua đới cầu và khối lượng toàn phần $M$ sẽ bằng tỉ số giữa diện tích $S$ và diện tích bán cầu $S_0=2\pi R^2$. Thay $R=v$, ta có thể viết:
         $\frac{m}{M}=\frac{S}{S_0}=\frac{2\pi hv}{2\pi v^2}=\frac{h}{v}$
Thay $\frac{h}{v}=\sin \alpha_2-\sin \alpha_1$, và dùng công thức $(2)$ ta có:
        $m=M(\sqrt{\frac{1+\sqrt{\Delta} }{2} }-\sqrt{\frac{1-\sqrt{\Delta} }{2} })$
Trường hợp $R \geq \frac{v^2}{g}; \frac{v^2}{g}$ chính là tầm bay xa lớn nhất ứng với $\alpha_1=\alpha_2=45^0$.
Không có mảnh nào bay xa hơn được. Vậy ở trường hợp này $m=0$

Bài 2705

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 2705

1 Đáp án

Liên quan

Dao Động Cơ - Tổng hợp dao động điều hòa:

Lý thuyết liên quan